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    <title>光学</title>
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<p class="example">
	<b>折射定律</b>
	设一质点从点 `A(x_1, y_1)` 运动到点 `B(x_2, y_2)`, 其中 `y_2 lt 0 lt
	y_1`. 如果质点在上半平面和下半平面运动的速度分别为常数 `v_1`, `v_2`,
	问它应沿什么路径运动才能使运动时间最短?
	显然质点在上半平面和下半平面的路线都是直线, 故只需求出路线与 `x`
	轴的交点 `P`. 设 `AP`, `BP` 与 `y` 轴的夹角分别为 `i_1`, `i_2`,
	可以证明, 当
	<span class="formula">
		`(sin i_1)/(sin i_2) = v_1/v_2`
	</span>
	时, 质点运动时间最短. 这一规律称为折射定律.
	由费马原理知, 光总是走花费时间最短的路线, 因此光的路径满足折射定律.
</p>

<p class="proof">
	几何方法. 在 `x` 轴上任取一点 `P'`, 下证
	<span class="formula">
		`(AP)/v_1 + (BP)/v_2 le (AP')/v_1 + (BP')/v_2`.
	</span>
	过点 `P'` 分别作直线 `AP, BP` 的垂线, 垂足分别为 `C, D`.  于是
	<span class="formula">
		`PC = PP' sin /_ PP'C = PP' sin i_1`,<br/>
		`PD = PP' sin /_ PP'D = PP' sin i_2`.
	</span>
	这推出
	<span class="formula">
		`(PC)/(PD) = (sin i_1)/(sin i_2) = v_1/v_2`,
	</span>
	即 `(PC)/v_1 = (PD)/v_2`.  于是
	<span class="formula">
		`(AP)/v_1 + (BP)/v_2`
		`= (AC-PC)/v_1 + (BD+PD)/v_2`
		`= (AC)/v_1 + (BD)/v_2`
		`le (AP')/v_1 + (BP')/v_2`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	微分方法. 设 `P(x, 0)`, 则时间
	<span class="formula">
		`t = sqrt((x-x_1)^2+y_1^2)/v_1 + sqrt((x-x_2)^2+y_2^2)/v_2`,<br/>
		`dt/dx = 1/v_1 (x-x_1)/sqrt((x-x_1)^2+y_1^2) + 1/v_2
		(x-x_2)/sqrt((x-x_2)^2+y_2^2)`
		`= (sin i_1)/v_1 - (sin i_2)/v_2`.
	</span>
	时间取极小值时有 `dt/dx = 0`, 即 `(sin i_1)/v_1 = (sin i_2)/v_2`.
</p>

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